Země je fyzikální těleso, jehož tvar je výslednicí dvou sil: síly přitažlivé a síly odstředivé. Výslednicí obou sil je tíhová síla G.
Tíhové pole Země je prostor, ve kterém se projevuje působení zemské tíže a tělesa jsou přitahována přibližně do středu Země. V geodetickém smyslu je Zemí nulová hladinová plocha [34], zvaná podle J. B. Listinga (1873) geoid. Geoid by se realizoval jako klidná střední hladina moří, která jsou spojená i pod kontinenty. Tato hladinová plocha je všude kolmá na směr zemské tíže. Při měření je tato plocha realizována urovnanou libelou. (Více viz [34]).
![Geoid [44]](Obrazky/Kapitola02/2x02-geoid.gif)
Jak vlastní povrch Země tak i geoid jsou však tělesa nepravidelná, členitá a velmi složitá, proto je pro potřeby mapování nahrazujeme referenčními plochami. Těmito plochami jsou referenční elipsoid, referenční koule a referenční rovina. Podrobněji jsou probírány v předmětu Vyšší geodézie. Zde se omezím pouze na základní pojmy.
Referenční elipsoid
Elipsoid (sféroid) je rotační těleso zploštělé na pólech. Je určen dvěma konstantami elipsoidu: např. a – hlavní poloosa elipsoidu , b – vedlejší poloosa elipsoidu, e2 – první excentricita, i –zploštění
Je- li střed elipsoidu ztotožněn s těžištěm geoidu a vedlejší osa s osou rotace Země, pak tento elipsoid nazýváme zemský elipsoid. Je-li vedlejší osa rovnoběžná s osou rotace Země, pak tento elipsoid nazýváme referenční elipsoid.
Pokud nahrazujeme geoid rotačním elipsoidem tížnice ke geoidu t a normála k elipsoidu n svírají v různých místech malý úhel – tížnicovou odchylku θ.
U nás se v civilním sektoru využívá elipsoid Besselův z r. 1841, ve vojenském sektoru elipsoid Krasovského z r. 1940. Velmi užívaným je rovněž elipsoid Hayfordův (1909), který byl roku 1924 přijat za mezinárodní elipsoid. Pro metody měření pomocí GPS je používán elipsoid WGS-84, na nějž přejde vojenský sektor v roce 2005.
V tabulce jsou uvedeny parametry nejdůležitějších elipsoidů:
Tabulka 2.1. Parametry vybraných elipsoidů
| Bessel | Hayford | Krasovskij | IAG 1967 | WGS-84 | |
|---|---|---|---|---|---|
| rok | 1841 | 1909 | 1940 | 1967 | 1984 |
| a[m] | 6377397.155 | 6378388 | 6378245 | 6378160 | 6378137 |
| b[m] | 6356078.963 | 6356911.946 | 6356863.019 | 6356774.516 | 6356752.314 |
| i[m] | 1/299.153 | 1/297.0 | 1/298.3 | 1/298.247 | 1/298.257 |
Proměnlivost křivosti elipsoidu působí, že i na rotačním elipsoidu jsou výpočty geodetických úloh značně složité. Proto jej často nahrazujeme koulí.
Referenční koule
Koule má konstantní křivost. Je určena pouze poloměrem R. Referenční kouli je možno využít [34]:
- a)
pro nahrazení části elipsoidu
Používá se pro území o poloměru do 200 km. Volí se střední poloměr křivosti Rm = (M*N)˝, kde M je meridiánový poloměr křivosti a N je střední poloměr křivosti. Tento poloměr se vypočítává ke středu území, v němž se koule dotýká elipsoidu.
Střední poloměry křivosti pro jednotlivé elipsoidy uvádím v tabulce. [3]
- b)
pro nahrazení celého elipsoidu
Používá se pro méně náročné úkoly. Poloměr náhradní koule je možné určit více způsoby:
aby koule měla stejný objem jako elipsoid
aby koule měla stejný obsah jako elipsoid
aby poloměr koule byl rovný aritmetickému průměru všech tří poloos elipsoidu
aby délky kvadrantů byly stejné
kde Q je délka poledníkového kvadrantu.
Poloměry referenčních koulí pro dané elipsoidy za zmíněných podmínek uvádím v tabulce:
Tabulka 2.3. Poloměry referenčních koulí pro vybrané elipsoidy za zmíněných podmínek
podmínka Besselův Hayfordův Krasovského IAG 1967 WGS- stejný objem [m] 6370283 6371221 6371110 6371024 6371001 stejný povrch [m] 6370299 6371237 6371126 6371040 6371017 aritmetický průměr poloos [m] 6370291 6371229 6371118 6371032 6371009 stejný kvadrant [m] 6366743 6367655 6367558 6367471 6367449
Referenční rovina
Kouli lze nahradit tělesem rozvinutelným do roviny (např. kuželem, válcem či tečnou rovinou). Více se těmito tělesy zabývá předmět matematická kartografie. Za rovinu lze považovat – pro polohopisné účely – území do průměru 30 km. [4]Vodorovné úhly a délky jsou prakticky stejné na zakřiveném povrchu i na jeho tečné rovině.
Volbou náhradní referenční plochy se v jednotlivých veličinách dopouštíme chyb, a to chyb v délkách, úhlech a zejména ve výškách.
Pokud zanedbáme zakřivení Země, tzn. pracujeme-li v rovinném průmětu, dopouštíme se chyb při výpočtu a zobrazení jednotlivých geodetických veličin. Pro tyto chyby platí přímá úměra: čím větší je vzdálenost mezi uvažovanými body a čím větší bude zobrazované území, tím větší budou hodnoty zkreslení. Pokud určíme rozdíly mezi těmito veličinami na kouli a jejich průměty do roviny, můžeme stanovit, do jaké vzdálenosti lze ještě zemský povrch považovat za rovinný, aniž bychom ovlivnili přesnost měřených veličin.
Přesnost měření lze charakterizovat relativními chybami.
Přesnost zobrazení Δr – grafická přesnost – závisí na přesnosti vynesení (Δy = ±0,05 mm) a na měřítku mapy.
[33] Vliv zakřivení Země na měřené délky se projevuje jako rozdíl mezi délkou ve skutečném horizontu a délkou ve zdánlivém horizontu a jako změna délky promítnuté do nulového horizontu.
Rozdíl mezi délkami ve skutečném a zdánlivém horizontu
Na obrázku je P střed oblasti. A,B jsou body na kulové ploše (skutečném horizontu). Jejich vzdálenost s je délka skutečného horizontu. Promítnutím obou bodů do zdánlivého horizontu (tangenciální zobrazovací roviny) dostaneme body A´,B´. Zdánlivý horizont je kolmý na směr tíže a je realizován urovnanou libelou geodetického přístroje.
Délka s=R*φ
potom φ=s/R
délka průmětu:
Rozvinutím funkce tg v Maclourinovu řadu[5] a použitím pouze prvních 2 členů dostaneme
Pak rozdíl mezi délkou na rovině a na kouli
Tabulka 2.4. Rozdíl mezi délkou na rovině a na kouli pro R = 6380 km
| s[km] | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
| delta[mm] | 2 | 7 | 16 | 32 | 55 | 88 |
Relativní chyba Δs/s = 1 : 545 000 a Δs = 55 mm pro s = 30 km.
Přitom poměrná přesnost délkových měření je okolo 1 : 100 000 a grafická přesnost pro měřítko 1 : 1 000 je 50 mm.
Závěr: Zakřivenou plochu lze nahradit rovinou do vzdálenosti s = 30 km. [33]
Redukce délky do nulového horizontu
Vlivem sbíhavosti tížnic je délka v určité nadmořské výšce větší či menší než na nulovém horizontu. Délka s naměřená ve výšce h se při průmětu do nulového horizontu změní na délku so.
Redukcí délky z nadmořské výšky je rozdíl Δs:
Vybrané redukce jsou uvedeny v tabulce:
Při nahrazení plochy kulové rovinou zanedbáváme při měření vodorovných úhlů sférický exces. Sférický exces є je hodnota, o kterou je větší součet vnitřních úhlů uzavřeného obrazce na sféře oproti součtu vnitřních úhlů stejného obrazce v rovině.
P ... plošný obsah sférického trojúhelníku
ρ "... radián
Pro rovnostranný sférický trojúhelník o stranách 20 km je exces ε = 0,9´´ a každý úhel v rovinném trojúhelníku bude zatížený chybou ε´´/3 = 0,3´´. To je hodnota velmi malá a nemusí se uvažovat ani při přesnějších měřeních
Při měření výšek zaměňujeme skutečný horizont za zdánlivý horizont. Výškový rozdíl bodů A a B je definován jako kolmá vzdálenost hladinových ploch procházejících zmíněnými body. Pokud zanedbáme zakřivení Země promítne se bod B do bodu B´ a my určujeme převýšení BB´ namísto správného převýšení AB. Tím se dopouštíme chyby o velikosti q.
Z obrázku je patrné, že q vypočteme ze vztahu:
Po dosazení za φ ze vztahu φ=s/R dostaneme q=s2/2R.
Z výsledného vztahu je vidět, že chyba roste kvadraticky. Vliv zakřivení Země tedy není možno při výškovém měření zanedbat ani na velmi krátké vzdálenosti, protože chyba překračuje tolerance i běžných výškových měření.
Velikosti chyb pro vybrané hodnoty délek jsou uvedeny v tabulce.
