Abstract

Coordinate systems used in the Czech Republic. Ellipsoids, geodetic datum, cartographic projection, Transformations between plane and spherical coordinates. Computational software MADTRAN and MATKART.

Abstrakt

Souřadné systémy používané v ČR, elipsoidy, geodetické datumy, kartografické projekce, transformace rovinných a prostorových souřadnic. Výpočetní software MADTRAN a MATKART.

1. Úvod

Uživatelé i tvůrci GIS technologií založených na digitální kartografii, se často setkávají s problematikou různých souřadných systémů definovaných v rovině i na povrchu elipsoidu a potřebou jejich vzájemných převodů s přesností vyhovující GISům. Zejména velké nejasnosti panují v oblasti vztahu mezi státním mapovým dílem, jeho souřadným systémem, použitým elipsoidem a kartografickou projekcí. Běžně se používá nestandardní a pojmově nepřesná terminologie vedoucí k matení pojmů a ve svém důsledků ke komplikacím např. při digitalizaci obsahu map a převodu naměřených hodnot do zvoleného souřadného systému. Totéž a v podstatně větší míře platí o propojování dat lokalizovaných v různých souřadných systémech. V dalším textu proto nejprve uvedeme základní pojmy a jejich vysvětlení. Podrobné informace a vyvození matematických postupů nutno hledat v učebnicích vyšší geodézie [2] a matematické kartografie[ 1], či topografické a tematické kartografie [8].

2. Základní pojmy

Nejprve uvedeme základní pojmy.

• Rotační (referenční, zemský) elipsoid – prostorové těleso vzniklé rotací elipsy kolem její svislé (kratší) poloosy elipsy (b). Zadává se délkami svých poloos (a,b) nebo delší poloosou (a) a reciprokou hodnotou zploštění f = (a-b)/a, kde hodnota 1/f činní cca 300. Plocha elipsoidu nahrazuje nepravidelný zemský povrch (geoid). Elipsoidů existuje značné množství, na našich mapách se setkáme s elipsoidem Besselovým, Krasovského a nově, zejména v aplikacích GISů, se používá elipsoid WGS84.

• Geografické (zeměpisné) souřadnice – určení polohy bodu na ploše elipsoidu pomocí zeměpisné šířky φ a zeměpisné délky λ. Šířka φ se definuje jako úhel mezi normálou k ploše elipsoidu a rovinou rovníku. Nabývá hodnot od 0º do +- 90º k severnímu a jižnímu pólu. Délka λ je úhel mezi rovinou základního poledníku (meridiánu) a poledníku daného bodu. Nabývá hodnot 0º - 360º nebo 0º +- 180º. V geodézii se φ, λ někdy značí B,L.

• Geocentrické souřadnice X,Y,Z - prostorový souřadný systém s počátkem ve středu  elipsoidu, osa X je vložena do průsečíku rovníku a roviny základního (nultého) poledníku, osa Z spojuje střed elipsoidu a severní pól a osa Y leží v rovině rovníku otočena o 90º proti směru hodinových ručiček od osy X (geodetická orientace os). Transformační vztahy φ, λ, H ºX,Y,Z jsou dány vztahem

Y = (N+H) cos φ sin λ

Z = (N (1- e²)+H) sin φ

Obr. 1 Geocentrický souřadný systém elipsoidu WGS 84

Kde H je výška bodu nad elipsoidem, měřená po normále, e² =(a²-b²)/a² (e-první excentricita elipsoidu), N = a / (1- e²sin² φ )^1/2 (N-příčný poloměr křivosti). Zpětná transformace X,Y,Z ºφ, λ, h je složitější a je nutno použít postupnou aproximaci, viz CIMBÁLNÍK [2] .
 
 

• Rovinné (kartézské) souřadnice – určení polohy v rovině pomocí dvojice rovinných souřadnic X,Y v pravoúhlém (ortogonálním) souřadném systému. Počátek souřadnic a natočení souřadných os může mít v rovině při kartografických aplikacích různé polohy. Je nutno pečlivě rozlišovat zda zadaný systém má “matematickou” orientaci os, tj. kladná osa X se s kladnou osou Y ztotožní pootočením o 90º proti směru pohybu hodinových ručiček, event. “geodetickou” orientaci os, kde se jedná o ztotožnění po směru hodinových ručiček. V řadě aplikací (např. zobrazení UTM) se používá symbolika E,N ve smyslu Easting, Northing, tj. rovinná souřadnice narůstající k východu (East) nebo severu (North).

• Kartografické zobrazení (projekce) – matematická relace udávající vztah mezi geografickými souřadnicemi na elipsoidu (φ, λ) (event. na kouli s označením U,V a zpravidla podstatně jednoduššími zobrazovacími rovnicemi) a rovinou zobrazení (X,Y). Zobrazovací rovnice mající obecný tvar X = f (φ, λ) a Y= g (φ, λ), se vyvozují z požadavků kladených na vlastnosti zobrazení (např. konformita, ekvivalence ploch, ekvidistance délek v určitém směru, aj.). K zobrazovacím rovnicím existují i jejich inverzní tvary, umožňující zpětný výpočet φ, λ, při znalosti X,Y v rovině.
• Geodetické datum - určení modelu zemského tělesa (koule, elipsoid, geoid) jeho tvarem, velikostí, umístěním a orientací vůči zemskému tělesu. Geodetické datum může být “horizontální” – elipsoid a jeho referenční bod, na kterém byl astronomicky orientován a “vertikální”, používající známý či odhadnutý průběh geoidu ve smyslu nulové hladinové plochy. K určení datumu bylo třeba znát v minulosti jeden ale v současnosti mnoho základních bodů, kde byly astronomickými, geofyzikální i terestrickými metodami měřeny údaje potřebné k určení parametrů datumu. V čase se geodetické datum mění !!!

• Souřadný systém – v oboru zeměměřictví je jím soubor těchto údajů :

• Geodetické datum (elipsoid, jeho referenční bod, datum určení)
• Souřadný systém geografických souřadnic φ, λ, (včetně volby základního poledníku)
• Zobrazovací rovnice (včetně voleb v nich použitých konstant)
• Souřadný systém rovinných souřadnic X,Y (včetně umístění počátku systému X,Y do obrazu geografické sítě, orientace os a matematických úprav souřadnic X,Y v rovině zobrazení (posuny počátku, násobení konstantou redukující délkové zkreslení aj.).

3. Souřadné systémy státních mapových děl ČR

• Civilní souřadný systém S-JTSK je určen – Besselovým elipsoidem z roku 1841 s referenčním bodem Herrmanskogel, zeměpisné délky se určují od ferrského poledníku, zobrazovací rovnice dvojitého konformního kuželového zobrazení v obecné poloze (Křovákovo zobrazení) s volbou redukční konstanty 0.9999 pro snížení vlivu délkového zkreslení, vložení počátku souřadného systému do obrazu kartografického pólu aj.). S-JTSK je použit na Základní mapě ČR měřítek 1:10 000, 25 000, 50 000, 100 000 a 200 000, jejich odvozeninách a v digitální databázi ZABAGED. Nevýhodou sysytému S-JTSK je jeho národní charakter (Česko, Slovensko). Lze očekávat, že v GISech nebude do budoucna tento systém příliš podporován.
• Vojenský souřadný systém S-42 je určen – Krasovského elipsoidem z roku 1942 s referenčním bodem Pulkovo, zeměpisné délky se měří od Greenwiche, zobrazovací rovnice Gaussova-Krügerova zobrazení s opakovatelností vždy pro šestistupňové poledníkové pásy, vložení osy X vždy do obrazu středového poledníku příslušného pásu, úprava souřadnice Y přičtením konstanty 500 km a dále předřazení čísla pásu před posunutou souřadnici Y. Vojenský systém je použit na vojenských topografických mapách 1:25 000, 50 000, 100 000, 200 000 a 500 000, jejich odvozeninách a v rámci Vojenského informačního systému území vytvářeného Geografickou službou armády ČR. Zpřesněná verze systému S-42 nese označení S-42/83, v současné době však česká armáda, v důsledku členství ČR ve vojenské alianci NATO, přechází na systém WGS 84 a systém S-42/83 bude zřejmě používán pouze pro vědecké účely.

Obr. 2 Zobrazení UTM

• Souřadný systém WGS 84 - Word Geodetic System 1984 je globální geocentrický geodetický systém pevně spojený se zemským tělesem. Počátek a orientace jeho os X,Y,Z jsou realizovány pomocí 12 pozemských stanic se známými přesnými souřadnicemi, které nepřetržitě monitorují dráhy družic systému GPS-NAVSTAR. Systém byl původně definován Ministerstvem obrany USA pro obranné účely, dnes je celosvětově používanou technologií prostorové lokalizace zájmových objektů s pevnou polohou i pohybujících se v čase a prostoru (navigační systémy lodí, automobilů, letadel, a dokonce i mobilních telefonů !). Elipsoid WGS84 (obr. 1) je pro souřadnicové výpočty určen hodnotami svých poloos, tj. a=6 378 137m, b=6 356 752,31425 m, event. f ^-1 = 298,257223563. Počátek souřadného systému X,Y,Z je vložen do těžiště Země s přesností cca 2 m. Malá poloosa Země (osa Z) je totožná s osou rotace Země v roce 1984. Přesnost určení geocentrických souřadnic při použití technologie GPS je cca 0,5 m. Tato přesnost plně vyhovuje potřebám vojenství, navigace, digitální kartografie a GIS. Pro převod geografických souřadnic do roviny se používá kartografická projekce UTM, systém UTM (obr. 2) pokrývá zemský povrch mezi 80° jižní šířky a 84°severní šířky. Každý šestistupňový poledníkový pás má vlastní souřadnice, osa N je vložena do obrazu osového poledníku, osa E do obrazu rovníku.Teorie zobrazení, tj. tvar zobrazovacích rovnic, je zcela totožný s Gauss-Krűgerovým zobrazením použitým u našich moderních vojenských map. Odlišný je však nejen použitý elipsoid, ale zejména korekční faktor délkového zkreslení zvolený v UTM zobrazení hodnotou 0,9996, kterou se přenásobí vypočtené souřadnice E,N. Důvodem je snížení délkového zkreslení v oblasti poledníkového pásu, kdy osový poledník nemá jednotkové zkreslení jako v systému S-42 (tj. je nezkreslen) ale 0,9996, což je měřítkový faktor, kterým se přenásobují souřadnice E,N vzešlé ze zobrazvacích rovnic. Pro odstranění záporných znamének se k souřadnici E přičítá konstanta 500 km, rovněž tak k souřadnicím N se na jižní polokouli přičítá konstanta 10 000 km.

4. Transformace souřadnic

V geodézii, kartografii, mapování, GISech se běžně setkáváme s celou řadou souřadných systémů, elipsoidů, kartografických projekcí. Uveďme např. řešení potřeby zpracování souřadnicových údajů z jiného státního území, ale i např. potřebu transformace souřadnic z pracovního systému digitizéru do celostátního geodetického souřadného systému, nebo naopak přepočet souřadnic získaných pomocí GPS spojený s vyhledáním příslušného mapového listu, kde leží zájmový objekt a určení jeho polohy v mapě.
 
 

4.1 Transformace v rovině

Používá se v případě, kdy máme k dispozici soubor souřadných údajů získaných z relativně malého zájmového území (např. digitalizací jednoho mapového listu, zaměřením území jedné obce aj.), který je třeba převést do jiného souřadného systému. Zde se nebudeme zabývat otázkou znalosti geodetického datumu, zobrazovacích rovnic aj. V praxi se používá postup, jehož matematickou podstatu zde nastíníme. Vstupní (získané, naměřené) souřadnice označme příponou IN, výstupní (požadované, přepočítané)  příponou OUT. Půjde zde o transformaci typu

[ X_in,Y_in ] → [ X_out, Y_out ].

Helmertova rovinná lineární konformní transformace

je vhodná pro rovinné systémy typu X,Y, jejichž počátky jsou vzájemně posunuty o hodnoty Δx, Δy, souřadné osy jsou vůči sobě stočeny o úhel b a ve směrech obou souřadných os platí měřítkový faktor m. Transformační rovnice mají tvar
 
 

X_out = m (X_in cos b - Y_in sin b) + Δx

Y_out = m (X_in sin b + Y_in cos b) + Δy
 
 

Poznámka. Pro výpočet neznámých veličin Δx, Δy, m, sin ba cos bje nutné znát v  souřadných systémech IN, OUT soubor identických bodů, tj. bodů, u nichž známe souřadnice v obou systémech. Vstupní i výstupní souřadné hodnoty jsou ovlivněny různorodou a pestrou směsicí náhodných i systematických chyb (srážka mapy, přesnost měření, tj. měřických pomůcek a přístrojů, schopnost operátorů, různorodost zobrazení, rozdílnost elipsoidů aj.). Je vhodné určit transformační koeficienty z většího počtu identických bodů rozmístěných na okrajích a ve středu zájmového území. Helmertova transformace k tomu účelu používá metodu nejmenších čtverců (MNČ presentovaná střední kvadratickou chybou, anglicky RMS error – Root Mean Square Error). Další a zejména v GISech hojně používanou metodou jsou transformace afinní a kolineární a transformace polynomické, max. 3. řádu. Každá z těchto metod má své výhody i problematické vlastnosti. Blíže viz MORAVEC [7]

4.2 Transformace geocentrických systémů

Podobnostní transformace geocentrických souřadnic v prostoru řeší vztah mezi dvěma elipsoidy, jejichž centra jsou od sebe v prostoru posunuta o hodnoty ΔX, ΔY, ΔZ, dále je třeba uvažovat náklon osy X o úhel a, osy Y o úhel b a osy Z o úhel ga závěrem “měřítkový” faktor q zohledňující relaci zploštění obou elipsoidů relací q=1+m, kde m je délkové měřítko. S ohledem na počet neznámých (tři posuny centra, tři úhlové rotace, jedna změna měřítka) se toto řešení označuje jako 7-prvková prostorová (3D) podobnostní Helmertova transformace, daná rovnicemi

X_out = (1+m) (X_in + g Y_in - b Z_in) + Δx

Y_out = (1+m) (-g X_in + Y_in +a Z_in) + Δy

Z_out = (1+m) (b X_in - a Y_in + Z_in) + Δz

Poznámka. V geodetické literatuře se posuny udávají v metrech, úhlové hodnoty stočení, které jsou velmi malé se udávají se v řádu vteřin, do vzorce se dosazují v radiánech, tj. je nutno je vydělit hodnotou 206264.8, zkreslení (změna měřítka) se udává v řádu 10^-6 .

4.3 Transformace mezi geodetickými souřadnými systémy

Častou úlohou je znalost vstupních souřadnic X,Y např. v systému S-JTSK a požadavek na jejich přepočet např. do systému S-42. Zmíněnou úlohu lze řešit několika postupy. Oba systémy se liší zobrazením i elipsoidem. Lze zvolit dva postupy

• Transformace s použitím diferencí zeměpisných souřadnic

- Přičtení diferencí (oprav) Δj, Δl, tj, j_Krasovský = j_Bessel + Δj, l_Krasovský = l_Bessel + Δl,

- Převod zeměpisných souřadnic [j,l]_Krasovský na rovinné souřadnice [X,Y]_s-42

- Neznámé hodnoty oprav Δj, Δlse pro zájmové území zjistí ze znalosti souboru identických bodů v obou soustavách, tvořících transformační klíč, kde je vhodné aplikovat polynomickou funkci 2. (kvadratická transformace) nebo 3. stupně (kubická transformace). Volba vyššího stupně polynomu zpravidla již nepřináší zvýšení přesnosti výpočtů, ale naopak často vede k numerické nestabilitě řešení. Oblast transformačního klíče pokrývá celé území republiky, či zvoleného souřadného pásu. Mimo tuto oblast je použití této metody transformace nevhodné a může vést k matematicky nepřesným výsledkům. Viz CIMBÁLNÍK [2], či VEVERKA [ 8]. Tuto metodu používá software MATKART.
 
 

• Transformace s použitím geocentrických souřadnic

- Převod rovinných souřadnic [X,Y]_s-jtsk na zeměpisné souřadnice [j,l]_Bessel

- Převod zeměpisných souřadnic [j,l]_Bessel na geocentrické souřadnice [X,Y,Z]_Bessel

- Helmertova prostorová transformace [ X,Y,Z]_{Bessel ® [}X,Y,Z]_Krasovský

- Převod geocentrických souřadnic _[X,Y,Z]_Krasovský na zeměpisné souřadnice [j,l]_Krasovský

- Převod zeměpisných souřadnic [j,l]_Krasovský na rovinné souřadnice [X,Y]_s-42

Kromě znalosti zobrazovacích rovnic je především nutno znát hodnoty 7-mi parametrů Helmertovy transformace. Ty lze získat z odborné literatury, jsou publikovány na webovských stránkách. V optimálním případě jsou oficiálně poskytovány jako úřední informace státních zeměměřických služeb. V jednodušším případě se pro transformaci použijí pouze tři parametry posunu centra, viz MADTRAN [5] .
 
 

5. Systém MATKART

Jedná o komplexní výpočetní software dlouhodobě vyvíjený autorem článku. MATKART je komplex softwarových řešení orientovaný na potřeby digitální kartografie a geografických informačních systémů (GIS). MATKART má modulární stavbu a v současné době je z uživatelského hlediska tvořen třemi základními moduly. Modul TRANSFORMACE řeší zejména převody mezi různými souřadnými systémy v rovině i na ploše elipsoidu. Moduly ZM (Základní mapy) a TM (Topografické mapy) řeší výpočty v kladech listů středních měřítek státních mapových děl České republiky.

MATKART byl vyvinut především pro potřeby digitální kartografie a GIS. Obsahuje proto především globální řešení, tj. taková, kde jedním matematickým vztahem, byť mnohdy značně složité konstrukce, řešíme výpočetní úkony na libovolném místě České republiky. S tím souvisí limitní přesnost výpočtů, která se pohybuje v rozmezí decimetrů až metrů, tj. nepřesáhne hodnoty, které by byly graficky významné, např. v nejpodrobnější topografické mapě měřítka 1:10 000. Jádrem systému MATKART je programová jednotka čítající několik tisíc programových instrukcí a desítky podprogramů a funkcí. Systém MATKART lze provozovat v operačním systému DOS i WINDOWS a zabudovávat do systému řízení prostorové datové báze GIS. Systém MATKART je v České republice používán desítkami uživatelů a je na různé úrovni implementace použit v programových a kartografických produktech např. ARCDATA , GEPRO, HSI, Geodézie Liberec (Geobáze), aj.

6. Systém MADTRAN

Jedná se o programové řešení sloužící pro přepočty souřadnicových systémů z lokálních geodetických datumů do WGS84 a zpět. Program MADTRAN (Mapping Datum Transformation) byl vytvořen opět především pro vojenské účely, cílem je rychlost a přehlednost výpočtů. Přesnost výpočtů je zpravidla v řádech metrů, uživatelský komfort při práci s programem není příliš vysoký, výsledky výpočtů však lze ukládat do souboru.

Softwareový systém MADTRAN je napsán v jazyce PowerBasic, první verze byla vytvořena v rámci americké vojenské topografické služby pod vedením DMA (Defence Mapping Agency, Fairfax, Virginia, USA). Jeho první aplikace byla použita ve vojenské operaci Storm Desert. V současné době lze podrobné informace o tomto programu, včetně jeho volného stažení z Internetu, nalézt na webovské stránce NIMA (National Imagery and Mapping Agency, Washington, USA). Program MADTRAN lze volně šířit, včetně dokumentace MADTRAN User´s Guide, rovněž obsažené na Internetu, obsahující podrobný návod k práci s programem.

Do MADTRANu lze vkládat pozici zájmového bodového prvku pomocí zeměpisných souřadnic (Global Position), souřadnicemi UTM nebo polohovým kódem  hlásné sítě UTM. Místní souřadný systém (Local Datum) se vybírá z bohatého seznamu.

7. Závěr

Souřadnicové transformace užívané v GISech jsou zpravidla aplikovány pro data prostorově lokalizovaná na úrovni map středních měřítek, tj. v rozmezí 1:10 až 1:200 000, kde typickým měřítkem je 1:50 000. Připomeňme, že přesnost polohového obsahu topomap je cca 0,8 mm v měřítku mapy, tj. pro měřítko 1:10 000 hodnota 8 m. Tuto přesnost nabízené výpočetní programy MATKART i MADTRAN bohatě splňují, neboť pracují s přesností výpočtů v rozmezí 0,3 m – 3 m, v závislosti na použitém matematickém postupu. Zkušenosti s transformačními klíči pro příhraniční území České republiky a sousedních států uvádí FANTA[3] .

Na webu lze nalézt nabídku řady transformačních programů, některé z nich jsou nabízeny jako shareware, tj. lze je volně používat i šířit. Často se však spíše jedná o díla poloamatérských nadšenců než o solidní softwareovou podporu. K vyhledání zdrojů informací o geodetických datumech a kartografických projekcích se doporučuje použít vhodný internetovský vyhledávač se zadáním např. “Coordinate Transformations, ... Computations”, “Geodetic Datums”, “Cartographic Projections” aj.

Zájemcům o tuto problematiku se doporučují stránky CERCO a MERGIN, obsahující popis aktivit státních evropských zeměměřických služeb v oblasti digitální kartografie, GISů a vyšší geodézie. Za kvalitní webovské stránky možno považovat informace MAPREF-Stefan A. VOSER, Peter H. DANA z austinské university v Texasu, European Petroleum Survey Group aj. I když je Internet velmi cenný nástroj vyhledávání informací z oblasti jakékoli lidské činnosti, opět je vždy nutno kriticky hodnotit presentované informace a snažit se, aby každý získaný údaj byl ověřen minimálně ze dvou nezávislých zdrojů.

Literatura

[ 1] BUCHAR,P.-HOJOVEC,V.: Matematická kartografie. Praha, Vydavatelství ČVUT 1999.

[ 2]CIMBÁLNÍK,M.-MERVART.L.: Vyšší geodézie. Praha, Vydavatelství ČVUT 1997.

[ 3]FANTA,M.: Hurá do Evropy aneb návaznost tuzemských a zahraničních dat středních měřítek. Arc revue 1/2000, s.9-11. Praha, Arcdata Praha s.r.o. 2000.

[ 4]Kolektiv: Geodetické referenční systémy v České republice. Praha, VÚGTK Zdiby a VZÚ Praha 1998.

[ 5] MADTRAN User´s Guide. 9 s. USA Fairfax, National Imagery and Mapping Agency 1997.

[ 6]MATKART veze 2000. Informace pro uživatele. 22 s. Praha, GeoSoft 2000.

[ 7] MORAVEC,D.: Kartografické a geoinformatické modelování. Praha, Vydavatelství Karolinum Karlovy university (v tisku).

[ 8]VEVERKA,B.: Topografická a tematická kartografie 10. Praha, Vydavatelství ČVUT 2001.

Příspěvek byl zpracován za podpory výzkumného záměru MSM 210000007 : Komplexní inovace technologií v geodézii a kartografii.